ГДЗ Алгебра 11 клас О. С. Істер, О. В. Єргіна (2019) - Профільний рівень

4 

10. Скільки розв'язків має рівняння (1/6)^х = -6/х?
А. жодного    Б. один    В. два    Г. безліч

Відповідь: Б.

(1/6)^х = -6/х
графічним способом
у = (1/6)^х

у = -6/х

рівняння має 1 розв'язок

11. Знайдіть усі корені рівняння (³√2 - √3)^х + (³√2 + √3)^х = 4.
А. З    Б. -6; 6    В. -3; З    Г. -1; 1

Відповідь: В.

(³√2 - √3)^х + (³√2 + √3)^х = 4
³√2 - √3 • ³√2 + √3 = ³√(2 - √3)(2 + √3) = ³√4 - 3 = ³√1 = 1
=> ³√2 - √3 = 1/(³√2 + √3)
нехай:
(³√2 + √3)^х = t, t > 0
(³√2 - √3)^х = 1/t
t + 1/t - 4 = 0
t² - 4t + 1 = 0
Д = (-4)² - 4 = 16 - 4 = 12
√Д = √12 = 2√3
t_1;2 = (4±2√3)/2 = (2(2±√3))/2 = 2±√3
(³√2 + √3)^х = 2 + √3    (³√2 + √3)^х = 2 - √3
(2 + √3)^х/3 = 2 + √3     (2 + √3)^х/3 = 1/(2 + √3)
х/3 = 1                        (2 + √3)^х/3 = (2 + √3)^-1
х = 3                           х/3 = -1
                                   х = -3
В. 3; -3

12. Розв'яжіть нерівність 2 • 2^х + 2^х + 2^х-1 ≤ 6^x-1 + 6^x.
А. [0; +∞)    Б. [1; +∞)    В. (-∞; 1]    Г. [-1; +∞)

Відповідь: Б.

2 • 2^х + 2^х + 2^х-1 ≤ 6^x-1 + 6^x
2 • 2^x + 2^x + 2^x • 2^-1 ≤ 6^x • 6^-1 + 6^x
2 • 2^x + 2^x + 2^x/2 ≤ 6^x/6 + 6^x
12 • 2^x + 6 • 2^x + 3 • 2^x ≤ 6^x + 6 • 6^x
21 • 2^x ≤ 7 • 6^x    : 6^x
(21 • 2^x)/(7 • 6^x) ≤ 1
3 • (2/6)^x ≤ 1
(2/6)^x ≤ 1/3
(1/3)^x ≤ 1/3
x ≥ 1

Б. х є [1; +∞)