ГДЗ Алгебра 11 клас О. С. Істер, О. В. Єргіна (2019) - Профільний рівень |
← Повернутися до розділів |
| 6.30 |
Розв'язок:
Вправа 6.30
Умова:
Розв'яжіть рівняння:
1) lg(х + 1)5 = lg32 + 5lg(х - 1);
2) log2(х - 1)(х + 4) + log2(х-1)/(х+4) = 2;
3) 5 - log2х2 = log2(х+4)/х;
4) 2log3√3-х + log3(5 - х) = 1;
5) 2 + log3(х - 5)2 = 2log3(х + 3);
6) 2lg(1 - 2х) + lg(19 + х2) = 2 + lg(1 + 4х2 - 4х);
7) log3(3х + 6) + log3(5х - 4) = 4;
8) lg(lg(х + 1)) = lg2 + lg(lg(х - 1).
Відповідь:
1) lg(х + 1)5 = lg32 + 5lg(х - 1)
lg(х + 1)5 = lg25 + lg(х - 1)5
ОДЗ: х + 1 > 0 x > -1
lg(х + 1)5 = lg(25 • (х - 1)5)
(х + 1)5 = 25 • (х - 1)5
(х + 1) = 2 • (х - 1)
х + 1 = 2х - 2
х - 2х = -2 - 1
-х = -3
х = 3;
2) log2(х - 1)(х + 4) + log2(х-1)/(х+4) = 2
2 = log222 = log24
log2(х - 1) • (х + 4) • ((х-1)/(х+4)) = log24
log2(х - 1)2 = log24
ОДЗ: х - 1 > 0, x > 1
(х - 1)2 = 4
х2 - 2х + 1 - 4 = 0
х2 - 2х - 3 = 0
Д = (-2)2 - 4 • (-3) = 4 + 12 = 16
х1;2 = (2±4)/2 = 3; -1
х = -1 не підходить під ОДЗ
х = 3;
3) 5 - log2х2 = log2(х+4)/х
5 = log225 = log232
log232 - log2х2 = log2(х+4)/х
log232/х2 = log2(х+4)/х
х ≠ 0
ОДЗ: {
х > -4
32/х2 = (х+4)/х : х
32/х = х + 4
32 = х2 + 4х
х2 + 4х - 32 = 0
Д = 42 - 4 • (-32) = 16 + 128 = 144
х1;2 = (-4±12)/2 = -8; 4
х = -8 не підходить під ОДЗ
х = 4;
4) 2log3√3-х + log3(5 - х) = 1
log3(√3-х)2 + log3(5 - х) = log33
log3(3 - х) + log3(5 - х) = log33
log3(3 - х) • (5 - х) = log33
3 - х > 0 -х > -3 • (-1) х < 3
ОДЗ: { { {
5 - х > 0 -х > -5 • (-1) х < 5
х є (-∞; 3)
(3 - х)(5 - х) = 3
15 - 3х - 5х + х2 - 3 = 0
х2 - 8х + 12 = 0
Д = 64 - 48 = 16
х1;2 = (8±4)/2 = 6; 2
х = 6 - не підходить під ОДЗ
х = 2;
5) 2 + log3(х - 5)2 = 2log3(х + 3)
2 = log332 = log39
log39 + log3(х - 5)2 = 2log3(х + 2)
2 + 2log3(х - 5) = 2log3(х + 3) : 2
1 + log3(х - 5) = log3(х + 3)
1 = log33
log33 + log3(х - 5) = log3(х + 3)
log33 • (х - 5) = log3(х + 3)
3 • (х - 5) = (х + 3)
3х - 15 = х + 3
3х - х = 15 + 3
2х = 18
х = 9
х - 5 > 0 х > 5
ОДЗ: { {
х + 3 > 0 х > -3
х > 5;
6) 2lg(1 - 2х) + lg(19 + х2) = 2 + lg(1 + 4х2 - 4х)
lg(1 - 2х)2 + lg(19 + х2) = lg100 + lg(1 + 4х2 - 4х)
1 - 2х > 0 -2х > 1 • (-1) 2х < -1
ОДЗ: { { {
1 + 4х2 - 4х > 0 (2х - 1)2 > 0 2х > 1
х < -0,5
{
x > 0,5
х є (-∞; -0,5) U (0,5; +∞)
(1 - 2х)2 • (19 + х2) = 100 • (1 + 4х2 - 4х)
(1 - 2х)2 • (19 + х2) = 100 • (1 - 2х)2 : (1 - 2х)2
19 + х2 = 100
х2 = 81
|х| = 9
х = -9, х = 9;
7) log3(3х + 6) + log3(5х - 4) = 4
4 = log334 = log381
log3(3х + 6) + log3(5х - 4) = log381
3х + 6 > 0 3х > -6 х > -2
ОДЗ: { { { => x > 0,8
5х - 4 > 0 5х > 4 х > 0,8
(3х + 6) • (5х - 4) = 81
15х2 - 12х + 30х - 24 - 81 = 0
15х2 + 18х - 105 = 0 : 3
5х2 + 6х - 35 = 0
Д = 62 - 5 • 4 • (-35) = 736;
8) lg(lg(х + 1)) = lg2 + lg(lg(х - 1))
lg(lg(х + 1)) - lg(lg(х - 1)) = lg2
lg(lg(х+1)/(х-1)) = lg2
х + 1 > 0
ОДЗ: {((х+1)/(х-1)) > 0 {
х - 1 ≠ 0
х > -1
х ≠ 1
lg((х+1)/(х-1)) = 2
(х+1)/(х-1) = 100
х + 1 = 100(х - 1)
х + 1 = 100х - 100
99х = 101
х = 101/99.