ГДЗ Алгебра 11 клас О. С. Істер, О. В. Єргіна (2019) - Профільний рівень

← Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції ← § 6. Логарифмічні рівняння

Вправа 6.39

Розв'язок:

Вправа 6.39

Умова:

Розв'яжіть рівняння:
1) log₂(4 + 2^х) = 5 - х;
2) log₄(5 - 4^х) = 1 - х;
3) log₆(5 + 6^-х) = х + 1;
4) log₉(3^х + 6) = х.

Відповідь:

1) log₂(4 + 2^х) = 5 - х
4 + 2^х = 2^5-х
4 + 2^х - 2^5-х = 0
4 + 2^х - 2⁵/2^х = 0
ОДЗ: 4 + 2^х > 0 2^х > -4 х є R
заміна: 2^х = t
4 + t - 32/t = 0
t² + 4t - 32 = 0
Д = 4² - 4 • (-32) = 16 + 128 = 144
t_1;2 = (-4±12)/2 = -8; 4
2^х = -8 2^х = 4
Ø 2^х = 2²
х = 2;
2) log₄(5 - 4^х) = 1 - х
ОДЗ: 5 - 4^х > 0 4^х < 5
5 - 4^х = 4^1-х
5 - 4^х = 4/4^х
4^х ≠ 0
5 • 4^х - 4^х • 4^х = 4
5 • 4^х - 4^2х - 4 = 0
-4^2х + 5 • 4^х - 4 = 0
заміна: 4^х = t
-t² + 5t - 4 = 0
Д = 5² - 4 • (-4)(-1) = 25 - 16 = 9
t_1;2 = (-5±3)/-2 = 4; 1
4^х = t₁ 4^х = t₂
4^х = 4 4^х = 1
х = 1 4^х = 4⁰
х = 0;
3) log₆(5 + 6^-х) = х + 1
5 +6^-х = 6^х+1
5 + 6^-х - 6^х+1 = 0
5 + 1/6^х - 6^х • 6 = 0
5 • 6^х + 1 - 6 • 6^2х = 0
-6 • 6^2х + 5 • 6^х + 1 = 0
заміна: 6^х = t
-6t² + 5t + 1 = 0
Д = 5² - 4 • 1 • (-6) = 25 + 24 = 49
t_1;2 = (-5±7)/-12 = 1; -1/6
6^х = t₁ 6^х = t₂
6^х = 1 6^х = -1/6
6^х = 6⁰ Ø
х = 0;
4) log₉(3^х + 6) = х
ОДЗ: 3^х + 6 > 0, 3^х > -6, х є R
3^х + 6 = 9^х
3^х + 6 - 3^2х = 0
-3^2х + 3^х + 6 = 0
заміна: 3^х = t
-t² + t + 6 = 0
Д = 1 - 4 • 6 • (-1) = 25
t_1;2 = (-1±5)/-2 = 3; -2
3^х = t₁ 3^х = t₂
3^х = 3 3^х = -2
х = 1 Ø.

Інші вправи:

6.2 6.4 6.6 6.8 6.10 6.12 6.14 6.16 6.18 6.20 6.22 6.24 6.26 6.28 6.30 6.32 6.35 6.37 6.39 6.41 6.43 6.45 6.47 6.50 6.52 6.54 6.58